みなさんは「効用」という言葉をご存知でしょうか。
確率が絡む選択をする際に期待値が高い選択をした方が長期的に見て得であるということは周知の事実だとは思いますが、以前「期待値の罠」という記事の中で紹介した通り、期待値を追い求めることは必ずしも貴方の人生を豊かにはしません。
記事の中で言っていた「得かどうか」というのが効用の考え方にあたります。
具体的に例を挙げると、年収300万円のサラリーマンがサマージャンボ3億円に当選した時の嬉しさと、総資産10兆円以上と言われているAmazonのCEOジェフ・ベゾスが3億円に当選した時の嬉しさは同じでしょうか？
無機質に3億円の利益とみると同等ですが、実際に受け取る感情には大きな差があると思います。この嬉しさこそが効用です。
一般に、同じ額の金銭を得たときに受け取る効用は、お金持ちほど効用が小さく貧乏人ほど大きくなります。
このような一般論をモデル化し、関数にしたものを効用関数といい、U(x)=logxという形がシンプルな形としてよく用いられます。
では、「期待値の罠」で紹介したゲームを例に効用関数を当てはめてみましょう。
n回目に初めて表が出る確率は1/2^nで、受け取る賞金は2^(n-1)円です。
2^(n-1)円の賞金で得られる効用をU(x)=logxの効用関数にあてはめるとU(2^(n-1))=log(2^(n-1))=(n-1)log2となります。
よって、このゲームで得られる期待効用はΣ[k→∞](1/2^k*(k-1)log2)=log2となり収束します。
これは確実に2円貰えるゲームと全く同じ効用ですね。
このように、実際の行動の選択の際には効用を考えることこそが重要になってきます。
今は分かりやすいように金銭のみを効用関数の変数として設定しましたが、実際の選択には所要時間やその行為をすること自体に対する選好(例：重労働はしたくない、嫌いな人と一緒になるのが嫌だ、etc...)も関わってくるため、より複雑化します。
ただ、数理的にある程度モデル化した上でどのような効用があるかを知ることは自身の行動の指針になるため、意識しておいて損はないでしょう。
先ほどゲームに関しては発展系が実はあり、効用関数がU(x)=logxとしたときに貰える賞金が2^(2^n)と設定すると効用も発散してしまうという罠があります。
この時貰える賞金は4円,16円,256円,4096円,4.3*10^9円,...と確かに急増はしますが、ではこのゲームに1グーゴルプレックス*1円賭けるかと言われれば答えはノーでしょう。
このゲームはサンクトペテルブルクのパラドックスと呼ばれ、様々な方法でその解決方法が検討されています。
気になった方は是非調べて、自分なりの解釈をしてみてはいかがでしょうか。
*1:1ゴーグルプレックス=10^(10^100)と定義されている
